Правила о процентах 6 класс

Содержание
  1. Проценты
  2. Соотношения между десятичными дробями и процентами
  3. Наиболее распространенные типы задач на проценты
  4. Формулы для решения задач на проценты
  5. Что такое процент?
  6. Как найти процент?
  7. Второй способ нахождения процента
  8. Нахождения числа по его проценту
  9. Задания для самостоятельного решения
  10. Математика 6 класс: все темы, правила и формулы – УчительPRO
  11. Делимость чисел
  12. Обыкновенные дроби
  13. Десятичные дроби
  14. Положительные и отрицательные числа
  15. Пропорции
  16. Свойства действий над числами
  17. Преобразование выражений
  18. Все о процентах. Подобная понятная теория. Разбор задач
  19. Пример 1
  20. Пример 2
  21. Пример 3
  22. Проценты и десятичные дроби
  23. Пример 4
  24. Пример 5
  25. Изменение числа на сколько-то процентов
  26. Пример 7
  27. Пример 8
  28. Примеры 9 -11
  29. Примеры 12 – 14
  30. Пример 15
  31. Пример 16
  32. Где мы используем проценты в жизни?
  33. Проценты. Коротко о главном
  34. ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
  35. Как решать задачи на проценты – подробное объяснение
  36. Задачи на проценты: вся суть
  37. Решение задач на проценты с помощью формулы простого процента
  38. Задача 1
  39. Задача 2
  40. Задача 3
  41. Решение задач на проценты: метод пропорции
  42. Задача 4
  43. Задача 6
  44. Решение задач на проценты методом коэффициентов
  45. Задача 7
  46. Задача 8
  47. Задача 9

Проценты

Правила о процентах 6 класс

Определение.

Процент — одна сотая часть величины или числа. Обозначается символом “%”.

Соотношения между десятичными дробями и процентами

  • Для преобразования десятичной дроби в проценты, ее необходимо умножить на 100.Например:   4 = 400%;   0.4 = 40%;   0.04 = 4%;   0.004 = 0.4%.
  • Для преобразования процентов в десятичную дробь необходимо число процентов разделить на 100.Например:   500% = 5;   50% = 0.5;   5% = 0.05;   0.5% = 0.005.

Определение.

Сложные проценты — эффект часто встречающийся в экономике и финансах, когда проценты прибыли в конце каждого периода прибавляются к основной сумме и полученная величина в дальнейшем становится исходной для начисления новых процентов.

Наиболее распространенные типы задач на проценты

  • Найти указанный процент от заданного числа.
  • Найти число по заданному другому числу и его величине в процентах от искомого числа.
  • Найти процентное выражение одного числа от другого.
  • Найти число на заданный процент большее (меньшее) исходного числа.
  • Найти число, зная значение числа большего (меньшего) от исходного на заданный процент.
  • Найти сложные проценты.

Все соотношения и формулы, полученные для решения задач с процентами, выводятся из пропорции

Данные задачи на проценты можно записать в виде следующих соотношений:

все      –      100% часть      –      часть в %

которые можно записать в виде пропорции

Используя эту пропорцию можно получить формулы для решения основных типов задач на проценты.

Формулы для решения задач на проценты

  • Формула вычисления процента от заданного числа. Если дано число A и необходимо вычислить число B, составляющее P процентов от A, то
  • Формула вычисления числа по его проценту. Если дано число B которое составляет P процентов от числа A и необходимо найти значение числа A, то
  • Формула вычисления процентного выражение одного числа от другого. Если дано два числа A и B и необходимо определить, какой процент составляет число B от числа A, то
  • Формула вычисления числа, которое больше исходного числа на заданный процент. Если дано число A и необходимо найти число B, которое на P процентов больше числа A, то
  • Формула вычисления числа, которое меньше исходного числа на заданный процент. Если дано число A и необходимо найти число B, которое на P процентов меньше числа A, то
  • Формула вычисления исходного числа по значению числа, которое больше от исходного на заданный процент. Если дано число B, которое на P процентов больше числа A и необходимо найти число A, то
  • Формула вычисления исходного числа по значению числа, которое меньше от исходного на заданный процент. Если дано число B, которое на P процентов меньше числа A и необходимо найти число A, то
  • Формула вычисления сложных процентов. где B – будущая стоимость; A – текущая стоимость; P – процентная ставка за расчетный период (день, месяц, год, …);n – количество расчетных периодов.

Пример 1.

Найти число B составляющее 5% от числа 20.

Решение:

Ответ: B = 1.

Пример 2.

Найти сколько процентов составляет число 35 от числа 20.

Решение:

Ответ: 175%.

Пример 3.

Найти число, которое на 15% меньше чем 20.

Решение:

20(1 – 15%) = 20 · 0.85 = 17
100%

Ответ: 17.

Пример 4.

Найти прибыль от 30000 рублей положенных на депозит на 3 года под 10% годовых, если в конце каждого года проценты добавлялись к депозитному вкладу.

Решение: Используем формулу для вычисления сложных процентов:

B = 30000(1 + 10%)3 = 30000 · 1.13 = 39930
100%

прибыль равна
39930 – 30000 = 9930

Ответ: прибыль 9930 рублей.

При изучении процентов вам также будут полезны:

© 2011-2021 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/library/percent/percent1/

Что такое процент?

В повседневной жизни дроби   встречаются наиболее часто. Они даже получили свои названия: половина, треть и четверть соответственно.

Но есть ещё одна дробь, которая тоже встречается часто. Это дробь (одна сотая). Данная дробь получила название процент. А что означает дробь одна сотая ? Эта дробь означает, что чего-либо разделено на сто частей и оттуда взята одна часть. Значит процентом является одна сотая часть чего-либо.

Процентом называется одна сотая часть чего-либо

Например,  от одного метра составляет 1 см. Один метр разделили на сто частей, и взяли одну часть (вспоминаем, что 1 метр это 100 см). А одна часть из этих ста частей составляет 1 см. Значит один процент от одного метра составляет 1 см.

от одного метра уже составляет 2 сантиметра. В этот раз один метр разделили на сто частей и взяли оттуда не одну, а две части. А две части из ста составляют два сантиметра. Значит два процента от одного метра составляет 2 сантиметра.

Еще пример,   от одного рубля составляет одну копейку. Рубль разделили на сто частей, и взяли оттуда одну часть. А одна часть из этих ста частей составляет одну копейку. Значит один процент от одного рубля составляет одну копейку.

Проценты встречались настолько часто, что люди заменили дробь  на специальный значок, который выглядит следующим образом:

Эта запись читается как «один процент». Она заменяет собой дробь  . Также она заменяет собой десятичную дробь 0,01 потому что если перевести обычную дробь    в десятичную дробь, то мы получим 0,01. Стало быть между этими тремя выражениями можно поставить знак равенства:

1% =  = 0,01

Два процента в дробном виде будут записаны как  , в виде десятичной дроби как 0,02 а с помощью специального значка два процента записывается как 2%.

2% =  = 0,02

Как найти процент?

Принцип нахождения процента такой же, как и обычное нахождение дроби от числа. Чтобы найти процент от чего-либо, нужно это чего-либо разделить на 100 частей и полученное число умножить на нужный процент.

Например, найти 2% от 10 см.

Что означает запись 2% ? Запись 2% заменяет собой запись . Если перевести это задание на более понятый язык, то оно будет выглядеть следующим образом:

Найти    от 10 см

А как решать подобные задания мы уже знаем. Это обычное нахождение дроби от числа. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби, и полученный результат умножить на числитель дроби.

Итак, делим число 10 на знаменатель дроби 

Получили 0,1. Теперь 0,1 умножаем на числитель дроби 

0,1 × 2 = 0,2

Получили ответ 0,2. Значит 2% от 10 см составляет 0,2 см. А если перевести 0,2 сантиметра в миллиметры, то получим 2 миллиметра:

0,2 см = 2 мм

Значит 2% от 10 см составляют 2 мм.

Пример 2. Найти 50% от 300 рублей.

Чтобы найти 50% от 300 рублей, нужно эти 300 рублей разделить на 100, и полученный результат умножить на 50.

Итак, делим 300 рублей на 100

300 : 100 = 3

Теперь полученный результат умножаем на 50

3 × 50 = 150 руб.

Значит 50% от 300 рублей составляет 150 рублей.

Если на первых порах сложно привыкнуть к записи со значком %, можно заменять эту запись на обычную дробную запись.

Например, те же 50% можно заменить на запись  . Тогда задание будет выглядеть так: Найти  от 300 рублей, а решать такие задачи для нас пока проще

300 : 100 = 3

3 × 50 = 150

В принципе, ничего сложного здесь нет. Если возникают сложности, советуем остановиться и заново изучить дроби и как их можно применять.

Пример 3. Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

Здесь нужно найти 32% от 1200. Найденное число будет ответом к задаче. Воспользуемся правилом нахождения процента. Разделим 1200 на 100 и полученный результат умножим на искомый процент, т.е. на 32

1200 : 100 = 12

12 × 32 = 384

Ответ: 384 костюмов нового фасона выпустила фабрика.

Второй способ нахождения процента

Второй способ нахождения процента намного проще и удобнее. Он заключается в том, что число от которого ищется процент сразу умножит на нужный процент, выраженный в виде десятичной дроби.

Например, решим предыдущую задачу этим способом. Найти 50% от 300 рублей.

Запись 50% заменяет собой запись  , а если перевести эти  в десятичную дробь, то мы получим 0,5

Теперь для нахождения 50% от 300, достаточно будет умножить число 300 на десятичную дробь 0,5

300 × 0,5 = 150

Кстати, по этому же принципу работает механизм нахождения процента на калькуляторах. Чтобы найти процент с помощью калькулятора, нужно ввести в калькулятор число от которого ищется процент, затем нажать клавишу умножения и ввести искомый процент. Затем нажать клавишу процента %

Нахождения числа по его проценту

Зная процент от числа, можно узнать всё число. Например, предприятие выплатило нам 60000 рублей за работу, и это составляет 2% от общей прибыли, полученной предприятием. Зная свою долю, и сколько процентов она составляет, мы можем узнать общую прибыль.

Сначала нужно узнать сколько рублей составляет один процент. Как это сделать? Попробуйте догадаться внимательно изучив следующий рисунок:

Если два процента от общей прибыли составляют 60 тысяч рублей, то нетрудно догадаться, что один процент составляет 30 тысяч рублей. А чтобы получить эти 30 тысяч рублей, нужно 60 тысяч разделить на 2

60 000 : 2 = 30 000

Мы нашли один процент от общей прибыли, т.е. . Если одна часть это 30 тысяч, то для определения ста частей, нужно 30 тысяч умножить на 100

30 000 × 100 = 3 000 000

Мы нашли общую прибыль. Она составляет три миллиона.

Попробуем сформировать правило нахождения числа по его проценту.

Чтобы найти число по его проценту, нужно известное число разделить на данный процент, и полученный результат умножить на 100.

Пример 2. Число 35 это 7% от какого-то неизвестного числа. Найти это неизвестное число.

Читаем первую часть правила:

Чтобы найти число по его проценту, нужно известное число разделить на данный процент

У нас известное число это 35, а данный процент это 7. Разделим 35 на 7

35 : 7 = 5

Читаем вторую часть правила:

и полученный результат умножить на 100

У нас полученный результат это число 5. Умножим 5 на 100

5 × 100 = 500

500 это неизвестное число, которое требовалось найти. Можно сделать проверку. Для этого находим 7% от 500. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 35

500 : 100 = 5

5 × 7 = 35

Получили 35. Значит задача была решена правильно.

Принцип нахождения числа по его проценту такой же, как и обычное нахождение целого числа по его дроби. Если проценты на первых порах смущают и сбивают с толку, то запись с процентом можно заменять на дробную запись.

Например, предыдущая задача может быть изложена так: число 35 это от какого-то неизвестного числа. Найти это неизвестное число. Как решать такие задачи мы уже знаем. Это нахождение числа по дроби.

Для нахождения числа по дроби, мы это число делим на числитель дроби и полученный результат умножаем на знаменатель дроби.

В нашем примере число 35 нужно разделить на 7 и полученный результат умножить на 100

35 : 7 = 5

5 × 100 = 500

В будущем мы будем решать задачи на проценты, часть из которых будут сложными. Чтобы на первых порах не усложнять обучение, достаточно уметь находить процент от числа, и число по проценту.

Задания для самостоятельного решения

Задание 2. Найдите 34% от числа 10501050 : 100 = 10,5
10,5 × 34 = 357 Задание 3. Найдите 25% от числа 8080 : 100 = 0,80
0,8 × 25 = 20 Задание 4. Найдите 185% от числа 1,51,5 : 100 = 0,015
0,015 × 185 = 2,775 Задание 5. Найдите 150% от числа 11501150 : 100 = 11,50
11,50 × 150 = 1725 Задание 8.

Представьте выражение 125% в виде обыкновенной дроби Задание 9. Число 12 это 60% от какого-то числа. Найдите это число.12 : 60 = 0,2
0,2 × 100 = 20 Задание 10. Число 40 это 20% от какого-то числа. Найдите это число.

40 : 20 = 2
2 × 100 = 200

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Источник: http://spacemath.xyz/procenti/

Математика 6 класс: все темы, правила и формулы – УчительPRO

Правила о процентах 6 класс

«Математика 6 класс: все темы, правила и формулы» — это краткое повторение математики за 6 класс (основные понятия, формулы и определения).

Вся информация, самое главное и всё, что нужно знать вкратце. Цитаты взяты из учебника для общеобразовательных учреждений (авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под ред.

С.А. Теляковского) — М.: Просвещение, 2014.

Делимость чисел

  1. Пусть а и b — натуральные числа и при делении а на b в частном получается q и в остатке r.

    Тогда а = bq + r, где q и r — натуральные числа или нули, причём r < b.

    Например:

  1. Если натуральное число а делится на натуральное число b, то а называют кратным b, а b — делителем а.

    Это означает, что а = bq, где q — натуральное число. Например, 62 кратно 31, 31 — делитель 62, так как 62 = 31 • 2.

  2. Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет только два делителя — единицу и само это число.

     Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Например, числа 2, 7, 43, 109 — простые, а числа 4, 12, 35 — составные. Число 1 не является ни простым, ни составным. Всякое составное число можно разложить на простые множители, и притом единственным способом. Например, 630 = 2 • 32 • 5 • 7.

  1. Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение всех получившихся простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим показателем. Например, 72 = 23 • 32; 180 = 22 • 32 • 5 и 600 = 23 • 3 • 52. Наименьшее общее кратное чисел 72, 180 и 600 равно 23 • 32 • 52 = 1800.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим показателем. Например, наибольший общий делитель чисел 72, 180 и 600 равен 22 • 3, т. е. числу 12.

  1. Если число оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, то оно делится на 5. Если число оканчивается любой другой цифрой, то оно не делится на 5.
  • Если число оканчивается чётной цифрой, то оно делится на 2. Если число оканчивается нечётной цифрой, то оно но делится на 2.
  • Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр числа не делится на 3, то число не делится на 3.
  • Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Обыкновенные дроби

  1. Правильной дробью называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильной дробью называется дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему.
  2. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
  3. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей; вычислить дополнительные множители, разделив наименьшее общее кратное на каждый знаменатель; умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель. Например, приведём к наименьшему общему знаменателю дроби 1/6, 7/12, 5/18. Наименьший общий знаменатель равен 36:
  1. При сложении дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель. При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель. Например,

При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями сначала их приводят к общему знаменателю.

  1. Чтобы перемножить две дроби, надо перемножить отдельно их числители и знаменатели; первое произведение сделать числителем, а второе — знаменателем. Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Например, 

Десятичные дроби

  1. При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают.

    Если первая следующая за этим разрядом цифра 5, б, 7, 8 или 9, то к последней оставшейся цифре прибавляют 1. Если первая следующая за этим разрядом цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют.

Например, 4,376 ≈ 4,4;   2,8195 ≈ 2,820;   10,1425 ≈ 10,14.

  1. Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно. При этом дроби записывают одну под другой так, чтобы запятая оказалась под запятой.

Например: 

  1. Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а затем в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после занятой в обоих множителях вместе.
  • Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо в делимом и делителе перенести запятые вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

Например: 

  1. Чтобы умножить десятичную дробь на 10n, надо в этой дроби перенести запятую на n цифр вправо. Чтобы разделить десятичную дробь на 10n, надо в этой дроби перенести запятую на n цифр влево.

Например,  8,373 • 100 = 837,3;   3,4 : 1000 = 0,0034.

Положительные и отрицательные числа

  1. Модулем положительного числа и нуля называется само это число. Модулем отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Модуль числа а обозначают |а|. Например, |3,6| = 3,6;   |0| = 0;   |–2,8| = 2,8.
  2. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и перед полученным результатом поставить знак «минус».
  • Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо из большего модуля вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.
  • Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Например, –3,4+ (–1,8) = –5,2;    2,5 + (–4,1) = –1,6;    –3,6 + 3,6 = 0.

  1. Чтобы из одного числа вычесть другое, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Например, –5 – 1,9 = –5 + (–1,9) = –6,9.

  1. Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули. Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить их модули и перед полученным результатом поставить знак «минус».

Например,  –1,2 • (–8) = 9,6;    –3 • 1,2 = –3,6.

  1. Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо модуль делимого разделить на модуль делителя. Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным результатом поставить знак «минус».

Например,  –4,8 : (–2,4) = 2;    5,5 : (–5) = –1,1.

  1. Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Пропорции

  1. Равенство двух отношений называют пропорцией. Например, равенство 2,5 : 5 = 3,5 : 7 — пропорция. Числа 2,5 и 7 — крайние члены пропорции. Числа 5 и 3,5 — средние члены пропорции. Если пропорция верна, то произведение её крайних членов равно произведению средних членов.

    В пропорции можно менять местами крайние члены или средние члены.

  2. Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

  • Если величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.
  1. Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
  • Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной из величин равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Свойства действий над числами

  1. Переместительное свойство сложения. От перестановки слагаемых значение суммы не изменяется.

Сочетательное свойство сложения. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

Переместительное свойство умножения. От перестановки множителей значение произведения не изменяется.

Сочетательное свойство умножения. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

Распределительное свойство умножения. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить ото число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

Преобразование выражений

  1. Слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми.
  2. Для того чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Например, 5а – 7а + 4а = 2а.

  1. Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.

Например, 3х + (2а – у) = 3х + 2а – у.

  1. Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.

Например, 5а – (2х – 3у) = 5а – 2х + 3у.

«Математика 6 класс: все темы, правила и формулы» — это краткое повторение алгебры за 6 класс (основные понятия, формулы и определения). Краткий курс: вся информация, самое главное и всё, что нужно знать вкратце.

Источник: https://uchitel.pro/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0-6-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%B2%D1%81%D0%B5-%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B/

Все о процентах. Подобная понятная теория. Разбор задач

Правила о процентах 6 класс

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Наверняка ты терпеть не можешь слово «процент».

Но это чувство у тебя скоро исчезнет. Чтобы это произошло, мы разберем что такое процент,  как проценты “превращаются” в десятичные дроби и  как изменять число на такой-то процент.

Решим несколько задачек.

И все будет просто.

Поехали!

Проценты и десятичные дроби Изменение числа на сколько-то процентов Решение сложных задач на проценты Подобные задачи часто попадаются в ЕГЭ Где мы используем проценты в жизни? Проценты. Коротко о главном

Пример 1

1) И снова избавимся от слова «процент». Получим такой вопрос:

Чему равны   сотых числа  ?

 .

Может показаться странным, что у нас целых   – ведь мы уже выяснили, что в числе всего  .

Но с математической точки зрения ничего странного, ведь процент – это всего лишь одна сотая от числа.

Почему нельзя одну сотую числа взять   раз?

Можно, ведь по сути это – просто число.

Пример 2

2) Итак,   от числа равны  . Можем составить простенькое уравнение:

 .

Ты заметил, что я сразу же вместо   написал  ?

И правда, один процент – это одна сотая, а значит,   процентов – это   сотых.

Ты можешь тоже так делать.

Пример 3

3) Обозначим искомое количество процентов буквой  . Тогда   от числа   равно  . Или, что то же самое,   сотых от числа   равно  :

 .

Ответ:  .

Проценты и десятичные дроби

В разобранных выше примерах мы убедились, что вместо знака процента % можно писать  , или просто разделить на  .

То есть,   – это то же самое, что  ;   – это   и так далее.

Но ведь любую из этих дробей можно записать компактнее: в виде десятичной дроби.

Пример 4

 ;

 ;

 ,

и так далее.

Значит, проценты можно записать в виде десятичной дроби.

Правило перевода такое: сколько бы ни было процентов, смещаем десятичную запятую на два знака влево и убираем значок % – и таким образом получаем обычное число.

Данное правило будем теперь всегда применять сразу.

Пример 5

1) Чему равны   от числа  ?

Вместо   напишем что?  . Итак,  .

2)   от какого числа равны  ?

 .

Изменение числа на сколько-то процентов

Когда говорят, что число увеличилось на  , это значит, что к числу надо прибавить  .

Если же число уменьшилось на  , это значит, что из числа надо вычесть .

Цена холодильника в магазине за год увеличилась на . Какой стала цена, если изначально холодильник стоил  руб?

Решение:

Для начала определим, на сколько рублей изменилась (в данном случае – увеличилась) стоимость холодильника.

По условию – на  .

Но   от чего?

Конечно же, от самой начальной стоимости холодильника  –   руб.

Получается, что нам нужно найти   от  руб:

 .

Теперь мы знаем, что цена увеличилась на  руб.

Остается только, согласно правилу, прибавить к начальной стоимости величину изменения:

Новая цена   рублей.

Ответ:  

Пример 7

(постарайся решить самостоятельно):

Книга «Математика для чайников» в магазине стоит  руб. Во время акции все книги продаются со скидкой  

 Сколько теперь придется заплатить за эту книгу?

Решение:

Что такое скидка, ты наверняка знаешь? Скидка в  означает, что стоимость товара уменьшили на  

На сколько уменьшилась стоимость книги (в рублях)?

Нужно найти   от начальной ее стоимости в  руб:

 .

Цена уменьшилась, значит нужно из начальной стоимости вычесть то, на сколько она уменьшилась:

Новая цена   рублей.

Ответ:  

Правда ведь просто?

Но есть способ сделать это решение еще проще и короче!

Пример 8

Увеличьте число   на  .

Чему равны   от  ?

Как мы уже выяснили раньше, это будет  .

Теперь увеличим само число x на эту величину:

 .

Получается, что в результате мы к десятичной записи   прибавили   и умножили на число  .

Обобщим это правило:

Пусть нам нужно увеличить число   на  .

  от числа   – это  .

Тогда новое число будет равно:  .

Итак,

Чтобы увеличить число на  , нужно умножить его на  .

Например, увеличим число   на  :

 .

А теперь попробуй сам:

  1. Увеличить число   на  
  2. Увеличить число   на  
  3. На сколько процентов число   больше числа  ?

Примеры 9 -11

3) Пусть искомое количество процентов равно  .

Это значит, что если число   увеличить на  , получится  :

Ответ: на  .

Если число x надо уменьшить на  , все аналогично:

  от  

Уменьшить число на какую-то величину – значит вычесть из него эту величину:

 .

Итак, правило:

Чтобы уменьшить число на  , нужно умножить его на  .

Примеры 12 – 14

1) Уменьшить число   на  .

2) На сколько процентов число   меньше числа  ?

3) Цена товара со скидкой в   равна  р. Чему равна цена без скидки?

Решения:

1)  .

2) Число   уменьшили на x процентов и получили  :

 .

Ответ: на  .

3) Пусть цена без скидки равна  . Получается, что x уменьшили на   и получили  :

  (рублей).

Ответ:  .

Напоследок рассмотрим еще один тип задач, частенько вызывающих недоумение.

Пример 15

Число   больше числа   на  . На сколько процентов число   меньше числа  ?

Что за странный вопрос: конечно же на  !

Правильно?

А вот и нет.

Если, например, масса одного шкафа на 25 кг больше массы другого, то, без сомнения, масса второго шкафа на 25 кг меньше массы первого.

Но с процентами так не прокатит!

Ведь в первом случае, когда говорим, что число   на   больше числа  , мы считаем   от числа  ; а во втором случае, когда говорим, что число   на   меньше числа  , мы считаем   от числа  . А поскольку числа   и   разные, то и   от этих чисел будут разными!

Чтобы решить эту задачу верно, давай запишем условие в виде уравнения:

Число   больше числа   на  . Это значит, что если число   увеличить на  , получим число  :

 . (1)

Теперь в таком ж виде запишем вопрос: если число a уменьшить на   процентов, получим число  :

 . (2)

Выразим число   из равенства (1):

И подставим в (2):

 .

Отсюда следует, что:

  (%).

Итак, получаем, что число   на   меньше числа  !

Пример 16

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на   дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение:

Пусть цена акции в понедельник была равна  , а искомое количество процентов, записанное в виде десятичной дроби (то есть, уже поделенное на  ), равно  .

Запишем формулой, чему равна стоимость акции после подорожания:

 .

Далее, эту новую стоимость   уменьшили на   процентов:

 .

При этом известно, что эта конечная цена   на   меньше начальной цены  . То есть, если уменьшить   на  , получим  :

Подставим  , выраженное ранее:

 .

Согласно здравому смыслу подходит только положительное решение:

 .

Вспомним теперь, что это пока только десятичная запись искомого количества процентов, то есть это количество процентов, деленное на  . Чтобы перевести в проценты, нужно домножить на 100%:

Где мы используем проценты в жизни?

Ну например в банковских продуктах: вкладах, кредитах, ипотеке и т.д

Если ты хорошо понимаешь, что такое проценты и умеешь решать уравнения, то ты без труда расчитаешь, например, размер ежемесячного платежа по кредиту.

Или сколько придется переплатить, взяв ипотеку. Такая задача есть в ЕГЭ под номером 17.

Проценты. Коротко о главном

Один процент любого числа – это одна сотая этого числа.

1. Проценты и десятичные дроби

 ;

 ;

2. Изменение числа на сколько-то процентов

Допустим, нужно увеличить число   на  .

  от числа   – это  .

Тогда, новое число будет равно:  .

Чтобы увеличить число на  , нужно умножить его на  .

Если число   надо уменьшить на  , то :

  от  

Уменьшить число на какую-то величину – значит вычесть из него эту величину:

 .

Правило:

Чтобы уменьшить число на  , нужно умножить его на  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене “чашка кофе в месяц”, 

А также получить бессрочный доступ к учебнику “YouClever”, Программе подготовки (решебнику) “100gia”, неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

Как решать задачи на проценты – подробное объяснение

Правила о процентах 6 класс

Как решать задачи на проценты? Есть 3 способа, выбирай тот, который для тебя проще и понятнее.

Умение быстро и правильно решать задачи на проценты важно, как для успешной сдачи ЕГЭ, так и для повседневной жизни. И если в ЕГЭ вы можете встретить такую задачу в задании 11, то в повседневной жизни такие задачи повсюду.

Зарплату повысили на 15%, а потом оштрафовали на 10%, после этого из зарплаты удержали налог 13% — сколько же мы получим в конце месяца? Коммунальные услуги повысили на 15%, сколько они теперь будут стоить? При возврате ж/д билета вернут только 20% стоимости, какую сумму мы получим? Все это задачи на проценты, которые нам  приходится решать каждый день.

Поэтому умение быстро и правильно решать задачи на проценты – это полезно.

Задачи на проценты: вся суть

Задачи на проценты, как правило, описывают жизненную ситуацию. В ней присутствует  какая-то величина, которая увеличивается или уменьшается на сколько-то процентов.

Таким образом, в задаче на проценты упоминается такие данные, как первоначальная величина, конечная величина и процент, на который эта величина изменилась.

Чаще всего в задаче требуется найти либо первоначальную величину, либо конечную величину, реже – процент, на который эта величина изменилась.

Решение задач на проценты с помощью формулы простого процента

Формула, которой мы пользуемся при решении задач на проценты, называется формула простого процента:

Хконечное – конечная величина

Хпервоначальное – первоначальная величина

k – процент, на который первоначальная величина изменилась

Из этой формулы всегда можно найти первоначальную величину или процент, на который происходит изменение.

Знак стоящий перед k зависит от того, увеличивается первоначальная величина или уменьшается. Так, если величина увеличивается на сколько-то процентов, то ставим знак плюс. Если уменьшается – минус.

Для наглядности приведем несколько простых примеров.

Задача 1

В городе проживало 30 000 человек. В результате строительства нового микрорайона количество жителей увеличилось на 6%. Сколько человек стало проживать в городе?

Решение: Очевидно, что в этой задаче нам известна первоначальная величина – 30 000 человек и процент, на который она увеличилась +6% Нужно найти конечную величину.

30 000 * ((100 + 6)/100) = х

30 000 * 1,06 = х

х = 31 800 человек

Ответ: 31 800 человек

Задача 2

Сколько килограмм яблок нужно собрать, чтобы получить из них 5 килограмм сушеных яблок, если известно, что в свежих яблоках содержится 90% воды?

Решение: В этой задаче нам известна конечная величина – 5 килограмм и процент, на который происходит изменение -90%. Нужно найти первоначальную величину:

5 = х * ((100 – 90) / 100)

5 = 0,1х

х = 50 кг

Ответ: 50 кг

Задача 3

Холодильник стоимостью 20 000 рублей был продан спустя месяц за 22 000 рублей. На сколько процентов увеличилась стоимость холодильника?

Решение: В данной задаче нам известна первоначальная  (20 000 рублей) и конечная величина (22 000 рублей), а найти нужно процент, на который данная величина изменилась.

22 000 = 20 000 * ((100 + х) / 100)

22 000 / 20 000 = 1 + х/100

1,1 = 1 + х/100

0,1 = х/100

х = 10%

Ответ: 10%

Решение задач на проценты: метод пропорции

Еще один способ решения задач на проценты – это метод пропорции. Это наиболее простой способ решения таких задач.

Напомним, что пропорция – это равенство двух отношений:

Для нас важно основное свойство пропорции, которое заключается в том, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов. Проще запомнить, что мы можем перемножить члены пропорции крест-накрест:

При решении задач на проценты с помощью метода пропорции необходимо руководствоваться следующим правилом:

всё – 100%

часть – часть в %

Далее записываем пропорцию: 

Давайте решим приведенные выше примеры задач на проценты с помощью метода пропорции.

Задача 4

В городе проживало 30 000 человек. В результате строительства нового микрорайона количество жителей увеличилось на 6%. Сколько человек стало проживать в городе?

Решение: Итак, в городе проживало 30 000 человек и это всё его население, т.е. 100%. Так и запишем:

30 000 – 100%

Далее население выросло на 6%, т.е. всё его население стало составлять 100% + 6% = 106% и нам неизвестно, сколько это человек, т.е. Х человек. Запишем:

Х – 106%

Таким образом, получаем:

30 000 – 100%

Х – 106%

Составим пропорцию: Правую дробь пропорции можно сократить на 2, получим: Теперь воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее члены крест-накрест:

30 000 * 53 = 50х

Далее обе части полученного уравнения мы можем разделить на 50, получим:

600 * 53 = Х

Х = 31 800

Ответ: 31 800 человек

 Задача 5

Сколько килограмм яблок нужно собрать, чтобы получить из них 5 килограмм сушеных яблок, если известно, что в свежих яблоках содержится 90% воды?

Решение: Нам неизвестно первоначальное количество всех яблок (всё количество), т.е. это Х, которое составляет 100%. Количество сушеных яблок (часть от первоначального количества яблок) составляет 5 кг.

Причем известно, что количество сушеных яблок на 90% меньше от первоначального количества яблок (т.к. 90% — это вода, которая из них испарилась). Следовательно, количество сушеных яблок составит 100% — 90% = 10%.

Запишем наши рассуждения:

Х – 100%

5 – 10%

Запишем наши рассуждения: Сократим правую дробь на 10, получим:Воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее члены крест-накрест:

Х = 10 * 5

Х = 50

Ответ: 50 кг

Задача 6

Холодильник стоимостью 20 000 рублей был продан спустя месяц за 22 000 рублей. На сколько процентов увеличилась стоимость холодильника?

Решение: Нам известно, что исходная цена – 20 000 рублей, следовательно, 20 000 рублей – это 100%. Тогда конечная цена 22 000 рублей – это неизвестное количество процентов, т.е. Х%. Так и запишем:

20 000 – 100%

22 000 – Х%

Теперь запишем пропорцию: Сократим левую дробь на 2 000, получим: Воспользуемся основным свойством пропорции, то есть перемножим ее члены крест-накрест:

10Х = 1 100

Х = 110

В результате решения мы получили результат 110%, но он не является ответом! Ведь нам нужно найти, на сколько процентов изменилась стоимость холодильника. Чтобы это узнать, нужно из полученного числа процентов отнять 100%:

110% — 100% = 10%

Ответ: 10%

Решение задач на проценты методом коэффициентов

Можно назвать еще один метод решения задач на проценты, который является следствием из формулы простого процента. Так, формулу простого процента можно переписать следующим образом:

Таким образом, мы получили формулу для решения задач на проценты методом коэффициентов. Полученная формула удобна тем, что при достаточной практике простые  задачи на проценты можно решать в уме, даже не задумываясь.

Например, яблоки стоили 150 рублей, затем они подорожали на 20%. Найдите новую стоимость яблок.

Применим полученную формулу и получим:

150 * 1,2 = 180 рублей

То есть мы интуитивно 20% превращаем в 0,2 прибавляем единицу, так как происходит увеличение на данное количество процентов, и умножаем на первоначальную стоимость.

Или другой пример. Зарплата работника составляла 25 000 рублей в месяц, в результате применения штрафа за опоздания зарплата сократилась на 10%. Найти сумму зарплаты, которую получит оштрафованный работник.

25 000 * 0,9 = 22 500 рублей

Опять же мы сразу понимаем, что 10% — это 0,1. Т.к. происходит уменьшение первоначальной величины на это количество процентов, то мы вычитаем из единицы этот процент и получаем 0,9. Затем умножаем полученное значение на первоначальную величину. Готово!

Давайте решим этим методом задачу про зарплату и налоги.

Задача 7

В России налог на доходы физических лиц составляет 13%. Зарплата Марии Ивановны после удержания налога на доходы составила 60 900 рублей. Найти сумму зарплаты Марии Ивановны до удержания налога.

Решение: Итак, 13% — это 0,13. Первоначальная зарплата уменьшилась на этот процент, значит, вычитаем из единицы и получаем 1 – 0,13 = 0,87. Подставляем в формулу:

0,87х = 60 900

х = 70 000

Ответ: 70 000 рублей

Задача 8

В школе 1000 учеников, из них 20% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 30% изучают французский язык. Сколько учеников в школе изучают французский язык, если в начальной школе французский язык не изучают?

Решение: Для начала из общего количества учеников исключим тех, кто французский язык точно не изучает, т.е. учеников начальной школы. Ученики начальной школы – это 20%, т.е. 0,2, мы уменьшаем на этот процент, следовательно, вычитаем из единицы и получаем 1 – 0,2 = 0,8.

1000 * 0,8 = 800

Из 800 полученных учеников французский язык изучают только 30%.

Обратите внимание, что здесь идет речь о проценте от числа. Т.е. мы не уменьшаем на 30% (в этом случае мы вычитаем значение процента в долях из единицы) и не увеличиваем на 30% (в этом случае мы прибавляем к значению процента в долях к единице), а берем 30% от заданного числа (в этом случае мы умножаем заданное число на значение процента в долях). Всегда внимательно читайте условия задачи!

В нашем случае нам нужно найти 30% от 800:

800 * 0,3 = 240

Это и есть ответ. 240 учеников изучают французский язык в школе.

Ответ: 240 учеников.

Задача 9

Разберем еще одну задачу на проценты, которая часто встречается на ЕГЭ и в которой легко можно допустить ошибку.

Задача: Зарплата рабочего составляла 30 000 рублей, затем зарплату повысили на 30%, а потом понизили на 30%. Какую зарплату стал получать рабочий?

Решение: быстро прочитав условие задачи, сходу хочется дать ответ – зарплата останется прежней, ее размер не изменился. Но это не так! Давайте разбираться.

Будем решать по формуле простого процента.

Первое событие – зарплату повысили на 30%. Следовательно, первоначальную сумму мы увеличиваем на 30%:Второе событие – зарплату понизили на 30%. Следовательно, нашу увеличенную зарплату мы теперь уменьшаем на 30%:Таким образом, рабочий теперь будет получать зарплату 27 300 рублей.

Данную задачу мы могли бы решить в одно действие, применяя формулу для вычисления сложного процента. Напомним ее:

S = P (1 + i)n, где

S – это конечная сумма;

P – это первоначальная сумма;

i – это процент/100;

n – количество периодов.

Т.к. 30% — это 0,3, то, применяя формулу для вычисления сложного процента к нашей задаче, мы получим:

30 000 * (1 + 0,3)1 (1 – 0,3)1 = 27 300 рублей

Результат получился тот же.

Ответ: 27 300 рублей

В этой статье были разобраны достаточно простые примеры задач на проценты, чтобы максимально доступно продемонстрировать методы решения задач на проценты. В профильном ЕГЭ с процентами вы можете столкнуться в задаче с экономическим содержанием по вкладам и кредитам. Такие задачи гораздо сложнее и подробное их решение вы можете посмотреть на нашем сайте.

Итак, надеюсь, что данная статья помогла вам понять, как решать задачи на проценты. Мы увидели, что задачи на проценты можно решать тремя способами – с помощью формулы простого процента, методом пропорции и методом коэффициентов. Выбирайте тот, который вам наиболее понятен, и которым вам решать такие задачи проще.

Источник: https://yourrepetitor.ru/kak-reshat-zadachi-na-procenty/

Ваши права
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: